W. Gahler Grundstrukturen der Analysis II

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Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei- neren als normierten Raumen benotigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfallen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel hoherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung fur Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten- regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, da (Dt, Dg 0 t> in x und y in (Dt, Dg 0 t> (x) differenzierbar ist. Die Forderung, da y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschrankend. Verlangt man, da die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all- gemeinen nicht erfullt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, da die Vektorraumtopologien so beschaffen sind, da im Falle X = R oder C die natur- lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso- morphien sind.